Périodicité et parité des fonctions cosinus et sinus

Propriété

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ .

Démonstration

Les fonctions cosinus et sinus dont définies sur $D=\mathbb{R}$ . Si $x\in D$ , alors $x+2\pi \in D$  et pour tout réel $x$ , on a :

• $\cos (x+2\pi )=cos(x)$
  
• $\sin (x+2\pi )=sin(x)$ .
  

Remarque Conséquence graphique

Le plan étant rapporté à un repère $(\text{O},\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , les courbes des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur $2\pi k\overrightarrow{i}$ , où $k$  est un entier relatif.

Propriétés

• La fonction cosinus est une fonction paire.
  
• La fonction sinus est une fonction impaire.
  

Démonstration

Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur  $D=\mathbb{R}$ qui est un intervalle symétrique par rapport à 0. Ainsi si $x\in D$  alors $-x\in D$  et pour tout réel $x$ , on a :

• $\cos (-x)=\cos (x)$  
  
• $\sin (-x)=-\sin (x)$ .
  

Remarque Conséquence graphique

• Dans un repère orthogonal, la  courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  
• La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.