Périodicité et parité des fonctions cosinus et sinus

Propriété

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période `2\pi` .

Démonstration

Les fonctions cosinus et sinus dont définies sur `D=\mathbb{R}` . Si `x \in D` , alors `x+2\pi \in D`  et pour tout réel `x` , on a :

• `\cos(x+2\pi)=cos(x)`
  
• `\sin(x+2\pi)=sin(x)` .
  

Remarque Conséquence graphique

Le plan étant rapporté à un repère \((\text O,\vec{i},\vec{j})\) , les courbes des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur \(2\pi k\vec{i}\) , où \(k\)  est un entier relatif.

Propriétés

• La fonction cosinus est une fonction paire.
  
• La fonction sinus est une fonction impaire.
  

Démonstration

Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur  \(D=\mathbb{R}\) qui est un intervalle symétrique par rapport à 0. Ainsi si \(x\in D\)  alors \(-x \in D\)  et pour tout réel `x` , on a :

• \(\cos(-x)=\cos(x)\)  
  
• \(\sin(-x)=-\sin(x)\) .
  

Remarque Conséquence graphique

• Dans un repère orthogonal, la  courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  
• La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.